7. деформируемые системы частиц под деформируемыми будем понимать системы частиц, если в процессе движения изменяются их локальные о - vnekl.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1страница 2
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Урока: Движение заряженных частиц в магнитном поле. Цель: познакомить... 1 52kb.
Динамика системы материальных точек 1 213.41kb.
Мера «нагретости» тела. Температура тела зависит от скорости движения... 1 179.84kb.
К органогенам не относится 1 28.97kb.
Какие признаки позволяют считать вирусы живыми организмами? 1 31.51kb.
Колонтитулы 1 32.49kb.
Решение для магазина, офиса, кафе Настенно-потолочные сплит-системы... 1 21.81kb.
Элективный курс "Системы счисления и элементы математической логики"... 1 35.48kb.
Задача на расчёт количества теплоты, которое требуется для плавления... 1 40.64kb.
Значение физических упражнений для формирования системы опоры и движения 1 74.79kb.
Лекция Модели строения атома, современная квантовая модель, протоны... 1 346.71kb.
Вводный урок Политической Национальной Украинской Логики /сарказм 1 134.39kb.
"Обозначение мягкости согласных на письме" 1 53.8kb.
7. деформируемые системы частиц под деформируемыми будем понимать системы частиц - страница №1/2


МЕХАНИКА АЛЮШИН Ю. А.

7. ДЕФОРМИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ
Под деформируемыми будем понимать системы частиц, если в процессе движения изменяются их локальные обобщённые координаты (1.3.6) и кинематические характеристики (1.3.7) - (1.3.11), а следовательно и энергия состояния (3.1.7).

Вообще говоря, деформация сопровождает любое движение, включая конечную фазу свободного падения тел, так как оно, как правило, сопровождается передачей энергии от одних тел к другим. Примером могут быть не только различные механизмы, но и полёт снаряда, которому сначала должна быть сообщена необходимая для полёта кинетическая энергия. Разгон снаряда в канале ствола сопровождается не только преобразованием одного вида энергии в другой (химическая энергия порохового заряда переходит в кинетическую энергию снаряда), но и обязательной деформацией направляющих колец и других элементов снаряда.

Это утверждение можно обобщить и на другие виды энергии: как правило механическое движение сопровождаются изменением в той или иной степени всех видов энергии составляющих систему материальных частиц. При анализе каждого случая движения следует сопоставлять порядок величин изменения тех или других видов энергии и уже после этого решать, какими из них можно пренебречь

Процессы деформации отличаются тем, что числовые значения коэффициента ked в уравнении (3.1.7) на несколько порядков превышают (в приведенных единицах) плотность материала или ускорение свободного падения. Даже при малых изменениях размеров и формы тела объёмная или массовая плотности энергии состояния значительно изменяются.

Можно утверждать, что энергия состояния играет определяющую роль в механизме передачи движения от одних частиц другим, в том числе в пределах одного тела. Изменение энергии состояния особенно велико на этапах разгона и торможения. Но, в связи с малостью перемещений, связанных с деформацией, они мало сказываются на уравнениях движения (1.3.3). Поэтому, если задачей анализа является определение траектории движения, например снаряда или шара на бильярдном столе, тогда уравнения движения с достаточной точностью можно найти без учёта деформации и изменения энергии состояния частиц.

Однако, если проводится общий энергетический анализ процесса с учётом преобразования энергии состояния в другие виды энергии (по аналогии с кинетической и потенциальной энергиями при полёте снаряда), тогда необходимо учитывать деформацию и связанные с этим изменения. При этом принцип суперпозиции движений остаётся справедливым в любых системах, т. е. не только при наложении движений частиц в составе абсолютно твёрдых тел, но и в деформируемых системах, например при одновременном растяжении и кручении.

Если положение центра масс тела в пространстве наблюдателя можно считать неизменным, тогда изменением энергии движения и положения можно пренебречь, существенными остаются энергии состояния и внешних воздействий. К такому варианту описания системы можно перейти, если общее движение рассматривать как суперпозицию движений деформируемых частиц относительно системы отсчёта, связанной с центром масс, с дополнительным наложенным движением всей системы как жесткого целого.
7.1. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ
Уравнение (3.3.1) является наиболее общим для определения уравнений движения материальных частиц деформируемого тела. Оно учитывает все виды возможных воздействий: массовых (gi ), инерционных (xi,tt ), внешних (напряжения Лагранжа ). Если изменение кинетической энергии частиц за счёт их вращательного движения незначительны, т. е. кривизна траекторий достаточно мала, можно приравнять нулю каждую из скобок и перейти к системе (3.3.2). В противном случае вектор ускорения в уравнении (3.3.1) можно представить в виде суммы двух составляющих, параллельных () и ортогональных () вектору скорости . Учитывая, что скалярное произведение ортогональных векторов равно 0 (), вместо (3.3.2) можно записать

,

где - проекции компоненты ускорения на оси координат наблюдателя. Решение этих дифференциальных уравнений с учётом наложенных граничных условий позволяет найти уравнения движения, а затем и соответствующие им обобщённые силы, изменения энергии и пр.

Решение дифференциальных уравнений можно заменить поиском экстремума функционала (3.4.3), но при любом методе надо знать зависимость между напряжениями и деформациями Лагранжа. Их формулируют в виде определяющих уравнений [9], которые должны учитывать объективные физические закономерности и свойства реальных материалов, а также обеспечивать независимость приращения энергии состояния от субъективных факторов, таких как выбор системы отсчёта времени или направления осей координат.

В пространстве переменных Эйлера такие закономерности сводятся к соотношениям между инвариантами (или соответствующими компонентами) шаровых тензоров () и девиаторов напряжений и деформаций Коши [9],



; , (7.1.1)

где K, G - модули объёмной упругости и сдвига, соответственно, - единичная матрица ( = 1 при , = 0 при ).

Учитывая вид правой части уравнения (3.4.4) для удельной мощности деформации, а также инвариантность суммы квадратов обобщённых координат (1.3.10), в простейшем (с математической точки зрения) случае определяющие соотношения можно принять в виде

или . (7.1.2)

По аналогии с средними деформациями и напряжениями Коши можно ввести средние деформации е (1.3.8) и напряжения Лагранжа



; , (7.1.3)

для которых соотношения (7.1.2) принимают аналогичный вид



. (7.1.2а)

Зависимости между напряжениями и деформациями (7.1.2) отличаются от общепринятых (7.1.1) сдвигом шкалы средних напряжений на величину . Действительно, при отсутствии деформации в начальный момент t = 0 матрица обобщённых координат (1.3.6) преобразуется в единичную матрицу . Следовательно, деформации Лагранжа и среднее их значение е равны 1. В соответствии с соотношениями (7.1.2) получаем



.

Это допустимо, так как выбор начала отсчёта (шкалы) средних напряжений, как и других величин (времени, координат и пр.) относится к субъективным факторам.

При соотношениях (7.1.2) приращение удельной энергии состояния для любой скалярной функции не зависит от субъективных факторов и определяется по уравнению

, (7.1.4)

которое, с учётом зависимостей (1.3.10) и (7.1.2а), можно преобразовать к виду



. (7.1.4а)

Переход к обычной шкале средних напряжений возможен за счёт простого сдвига начала отсчёта на величину



. (7.1.5)

В этом случае для приращения удельной энергии состояния получаем зависимость



, (7.1.5а)

которую можно обобщить



. (7.1.6)

Принципиальное отличие уравнений (7.1.4) и (7.1.6) состоит в том, что в последнем за счёт величины de правая часть будет инвариантной только при деформации в главных осях. Во всех остальных случаях оно должно быть заменено на



(7.1.6а)

и приращение deГ нужно определять для осей экстремальных среднеквадратических отклонений [5], что связано с определёнными трудностями, так как их направление в системе отсчёта наблюдателя в общем случае деформации не остаётся постоянным.

Вместе с тем, для упругой деформации, когда , а также процессов, близких к деформации в главных осях, уравнение (7.1.6) можно считать достаточно точным [5]. Тогда множители правой части при приращениях обобщённых координат (1.3.6), как и в уравнении (7.1.4), соответствуют напряжениям Лагранжа, а свойства материалов, для которых приращение энергии состояния определяется уравнением (7.1.6), описываются определяющими уравнениями

. (7.1.7)

При и они преобразуются к виду (7.1.2).

Скалярные функции (с размерностью Н/м2) и (безразмерная, по аналогии с коэффициентом Пуассона) должны быть определены по изменению энергии состояния (деформации) из экспериментальных исследований, например при линейном растяжении или чистом сдвиге [8, 9].

Уравнения (7.1.2) и (7.1.7) не исчерпывают возможные формы определяющих соотношений для различных материалов, но являются достаточно общими и согласуются с современными представлениями о механизмах и основных закономерностях как обратимых, так и необратимых деформаций [5, 8].

Предположение (7.1.2) эквивалентно утверждению, что для описания деформационных свойств любого материала достаточно одной функции, а в упругой области (обратимых) деформаций - одной константы (), которая полностью определяет как особенности его деформации, так и изменение энергии состояния или необходимые для этой деформации внешние воздействия.

На первый взгляд это не соответствует общепринятым представлениям. В настоящее время принято считать, что для характеристики упругих свойств материалов необходимы как минимум 2 константы, например модуль Юнга и коэффициент Пуассона [12-13]. Дополнительным основанием для такого утверждения может быть и то, что обобщённые координаты (1.3.6) имеют 3 инварианта (например, для главных осей е, Г и R). Изменение каждого из них может вносить свой вклад в изменение энергии состояния частицы. Такой вариант предусматривают соотношения (7.1.7).

Однако уравнения (7.1.2) записаны для деформаций и напряжений Лагранжа, в то время как утверждение о двух константах относится к общепринятым соотношениям между напряжениями и деформациями Коши. Можно показать, что оба эти утверждения не противоречат друг другу. Для этого воспользуемся соотношениями между напряжениями Коши и Лагранжа

; , (7.1.8)

которые вытекают из условия инвариантности приращения энергии состояния по отношению в выбору начала отсчёта времени [5, 8] и справедливы для любой шкалы средних напряжений. С учётом соотношений (7.1.2) получаем



; , (7.1.9)

т. е. каждое из напряжений Коши, в отличие от напряжений Лагранжа, зависит от всех 9 обобщённых координат (1.3.6), входящих как в множители правой части уравнений (7.1.9), так и в изменение объёма (см. ур. 1.3.11).

В частности, при линейном растяжении в направлении оси х с уравнениями движения ( - коэффициент Пуассона)

; ; (7.1.10)

из общих соотношений (7.1.8) следует



. (7.1.11)

Если воспользоваться начальным условием при , , (обычная шкала средних напряжений Коши), тогда



. (7.1.11а)

Принимая во внимание , и вытекающие из уравнений движения соотношения



; ; , (7.1.10а)

окончательно, если напряжение находить через среднее напряжение, получаем



. (7.1.12)

Этот результат при совпадает с общепринятым законом Гука при линейном растяжении.

При гидростатическом нагружении правая часть уравнения (7.1.8) преобразуется к виду

и с учётом соотношения для обычной шкалы средних напряжений находим



.

Как и для линейного растяжения, этот результат при практически совпадает с общепринятым законом упругого изменения объёма (7.1.1) [8].

При более общих соотношениях (7.1.7) дифференциальные уравнения движения (3.3.2) принимают вид

, (7.1.13)

а для напряжений Коши вместо (7.1.9) получаем



; . (7.1.14)

Из уравнений (7.1.14) при следуют общеизвестные соотношения (7.1.1), в частности для гидростатического нагружения, если принять , и для линейного растяжения, если . Действительно, из уравнений (7.1.14) следует



или ,

В последнем случае статическое условие на боковых поверхностях соответствует кинематическому условию .

Один из наиболее существенных недостатков соотношений (7.1.7) и согласованных с ними дифференциальных уравнений (при постоянных и )

+

+ . (7.1.13а)

связан с тем, что решение системы (7.1.13а), т. е. уравнения движения , становятся зависимыми от субъективного фактора - выбора шкалы средних напряжений (величины ).

Новая шкала средних напряжений соответствует частному случаю и выбор этого частного значения также можно отнести к субъективным факторам. Но он предпочтителен тем, что более простой вид, по сравнению с обычной шкалой (), принимают не только зависимости между напряжениями и деформациями Коши, например при гидростатическом нагружении ()



,

но и дифференциальные уравнения движения (3.3.2), которые преобразуются (при ) в уравнение Пуассона



. (7.1.15а)

или Лапласа (при отсутствии массовых и инерционных сил )



(7.1.15)

в пространстве переменных Лагранжа ().

Таким образом, предположение об одной физической константе материала для характеристики его поведения и энергетического состояния в упругой области согласуется с известными соотношениями между напряжениями и деформациями в различных условиях деформирования.

Уравнение (7.1.4) позволяет рассматривать произведение () при постоянном значении как характеристику объёмной плотности энергии деформируемой частицы u0 в её исходном состоянии, когда , . В обычной шкале средних напряжений это значение сохраняется, но с обратным знаком, так как уравнение (7.1.4) принимает вид



.

В новой шкале такой же смысл сохраняют и средние напряжения (7.1.3), тогда как в обычной шкале они характеризуют лишь степень их увеличения, без сопоставления с исходным состоянием.

Как показывает дополнительный анализ [8], переход к новой шкале средних напряжений не только способствует снижению математических трудностей при решении практических задач, но и получаемые при этом результаты лучше соответствуют известным законам сохранения энергии.

Например, при растяжении достаточно длинного стержня (гибкой растяжимой нити) под действием собственного веса в соответствии с известными [12-13] соотношениями



; , (7.1.16)

где Е - модуль упругости первого рода (модуль Юнга), при общей длине L энергия деформации составит



. (7.1.17)

Изменение потенциальной энергии положения за счёт гравитационных сил при переходе из условно недеформированного, например горизонтального, состояния в деформированное (вертикальное) составляет



. (7.1.18)

Различие правых частей уравнений (7.1.17) и (7.1.18) определяет множитель (), который для стали ( = 7,8 г/см3, g = 9,8 м/c, Е = 200 ГПа ) имеет порядок 10-7 1/м.

Несоответствие отсутствует при сравнении изменений энергии в новой шкале. Совмещая точку подвески гибкой нити с началом координат и принимая дополнительно гипотезу плоских сечений, в соответствии с которой , из уравнения Лапласа (7.1.15) получим

; . (7.1.19)

В качестве граничных условий для определения констант интегрирования С1 и С2 используем предположения об отсутствии перемещений на верхнем (х = 0 при ), а деформации - на нижнем торце ( при ). Тогда решение принимает вид



; ; . (7.1.20)

Полученный результат, как и приближенные соотношения (7.1.16), нельзя считать точным. В частности, уравнения движения не удовлетворяют граничным условиям и на боковых поверхностях деформируемого тела. Вместе с тем, изменение потенциальной энергии положения деформируемой нити (при )



(7.1.21)

имеет один порядок с изменением потенциальной энергии состояния



. (7.1.22)

Оба результата практически совпадают при отсутствии поперечных деформаций ().

По существу выбор шкалы средних напряжений эквивалентен выбору шкалы энергии состояний или согласованию шкалы различных видов энергии, если предположить существование некоторой зависимости между упругими, гравитационными и инерционными свойствами. Чтобы выявить отсутствие или наличие такой связи, нужно рассмотреть движение тела при некоторых ограничениях, когда существенными являются изменения только двух из анализируемых видов энергии. Например, при анализе свободного падения (см. разд. 6.1) получено, что ускорение свободного падения не зависит от инерционных свойств тела (плотности материала или массы тела). При этом всегда, т. е. при любом изменении шкалы плотности, выполняется равенство между изменениями кинетической энергии движения и потенциальной энергии положения.

Наиболее общим обоснованием этого утверждения является анализ приращений рассматриваемых двух видов энергии на бесконечно малом интервале времени. Для обозначений, принятых в разд. 3, при движении вдоль оси z имеем



; .

При условие выполняется в любой шкале плотности при выполнении соотношения между коэффициентами . В современной механике принято , .

Действительно, при равноускоренном движении из начального неподвижного состояния скорость и пройденный путь изменяются во времени в соответствии с уравнениями

; ,

т. е. всегда выполняется равенство , а следовательно и равенство (по модулю) приращений двух видов энергии



.

Если в начальный момент времени скорость тела равна v0 , тогда в любой другой момент t > 0 скорость, за счёт ускорения свободного падения g, составит . За это же время тело пройдёт расстояние и его энергия положения изменится на величину , а кинетическая энергия движения возрастёт на , отсюда



.

Таким образом, равенство изменений энергии движения и положения является следствием кинематических соотношений при равноускоренном движении в гравитационном или другом потенциальном силовом поле, которые и обеспечивают это равноускоренное движение.

В современной механике плотность различных материалов определяют по отношению к плотности воды, которая принята за 1 г/см3, или по отношению объёмов тел при равенстве гравитационных сил, устанавливаемом, например, на рычажных весах

.

Предполагается, что плотность эталонного материала и объёмы тел Ve, Vm известны.

Изменение шкалы или эталона плотности не сказывается на формулировке основных закономерностей механики. Изменятся лишь абсолютные значения веса, плотности, энергии и связанных с ними других характеристик материалов. Но это справедливо лишь в случае, если плотность не связана с энергией упругой деформации, как это следует из дифференциальных уравнений движения (3.3.1) или (3.3.2).

Полученные выше зависимости допускают возможность перехода к абсолютной энергетической шкале, по аналогии с абсолютной шкалой температур (Кельвина), например путем сопоставления подведённого тепла и изменений удельной плотности энергии упругой деформации под влиянием температурного поля.

Чтобы найти соотношение между свойствами материала ked и kep или kek (см. разд. 3), достаточно рассмотреть примеры движения с изменением только двух соответствующих видов энергии, как это сделано выше для коэффициентов kep и kek или деформации гибкой нити под действием собственного веса. Однако полученное там решение для уравнений движения является приближённым и не удовлетворяет граничным условиям отсутствия деформации растяжения - сжатия на боковых поверхностях.

Действительно, из общих зависимостей (7.1.14) для получаем



. (7.1.23)

Для выполнения условия = 0 в обычной шкале средних напряжений () достаточно принять . Оно выполняется в исходном состоянии, но в дальнейшем происходит общее уменьшение поперечного сечения. Очевидным следствием зависимости (7.1.23) является ограничение области однородного деформированного состояния малыми деформациями, когда с достаточной точностью по всему объёму стержня можно считать . При дальнейшем развитии деформаций такое условие должно выполняться только для крайних (поверхностных) волокон. В большей части объёма будут возникать деформации и напряжения . В общем случае функция должна удовлетворять уравнению (7.1.15).

Переход к новой шкале средних напряжений согласуется с общепринятыми представлениями о механизмах деформации. В частности, соотношение (7.1.4), представленное в виде

, (7.1.24)

с учётом геометрического смысла величин е и Г позволяет выделить из общей энергии деформации составляющие, получаемые за счёт изменения объёма и формы



; . (7.1.25)

При этом, в соответствии с уравнением (7.1.9), средние напряжения Коши следует рассматривать как объёмную плотность энергии, учитывающую обе эти составляющие.

Как следует из уравнений типа (7.1.24), деформация может развиваться за счёт внутренней накопленной энергии, т. е. без притока энергии внешних сил, точнее за счёт перехода энергии изменения объёма в энергию изменения формы и наоборот при условии, что сумма этих двух видов энергии остаётся неизменной. Это явление можно рассматривать как физическую основу волнового механизма распространения деформации. При этом переход от обратимых деформаций к необратимым зависит от предельных значений среднеквадратических отклонений Г и энергии duf, связанной с изменением формы частицы [8, 12-13].

Деформация системы в целом должна соответствовать минимально возможным значениям накопленной потенциальной энергии состояния (3.4.3). Тогда коэффициент Пуассона можно рассматривать как внутренний варьируемый параметр, который определяет общее изменение энергии частицы и её составляющих. При линейном растяжении с уравнениями движения (7.1.10) и значении общее изменение энергии достигает минимальных значений



, (7.1.26)

при этом 50% энергии накапливается за счёт изменения объёма и 50% - за счёт изменения формы.

Таким образом, рассмотренные примеры не выявляют каких - либо принципиальных ограничений на выбор шкалы средних напряжений. Но в новой шкале они имеют вполне определённый энергетический смысл и характеризуют объёмную плотность энергии материала в его исходном состоянии, которая никак не учитывается в обычной шкале средних напряжений Коши.
7.2. ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ В ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛАХ
Переход к энергетической модели механики связан с отказом от общепринятого понятия “сила”, которое в классической механике относится к исходным [1-4]. “Обобщённые силы” имеют чёткий математический смысл (см. ур. 5.1, 5.2 и др.) и характеризуют интенсивность (скорость, темп) изменения определённого вида энергии при изменении соответствующей обобщённой координаты. Однако применение этого термина для деформируемых систем требует особой осторожности, так как в отличие от движения абсолютно твёрдых тел, для деформируемых систем частиц можно ввести по два типа локальных и интегральных обобщённых сил.

К локальным следует отнести силы , использованные при определении локальной мощности деформации (3.2.3) как энергетически эквивалентные математические образы внешних (по отношению к рассматриваемой) воздействий со стороны смежных частиц (3.2.2). Они действуют на гранях деформируемой частицы с фиксированными значениями переменных Лагранжа и являются множителями бесконечно малых приращений их линейных перемещений, т. е. соответствуют общему определению обобщённых сил (3.2.1).

Вместо локальными обобщёнными силами будем называть напряжения Лагранжа , которые соответствуют поверхностной плотности этих сил

. (7.2.1)

Основанием для такой терминологии может быть уравнение (3.2.3), где они являются множителями соответствующих приращений локальных обобщённых координат (1.3.6), т. е. определяют приращение удельной энергии деформации (состояния) бесконечно малой частицы (см. уравнение 3.2.3 без тепловых потоков) [5, 8]



. (7.2.2)

Локальные обобщённые силы могут быть проинтегрированы по соответствующим поверхностям



(7.2.3)

и таким образом получаем первый тип интегральных обобщённых сил.

С другой стороны, для ряда процессов деформации, например при линейном растяжении, все производные (1.3.6) могут быть выражены через изменение одного из размеров тела, например его длины. Тогда оценивать изменение энергии состояния тела можно по отношению к изменению этого интегрального (единственного для деформируемого тела в целом) параметра, принимаемого в качестве его обобщённой координаты. Таким образом можно получить интегральную для тела обобщённую силу второго типа

(7.2.4)

и её локальный аналог, отнесенный к площади сечения.

Интегральные обобщённые силы Q, определяемые по уравнению (7.2.4), не обязательно совпадают с интегралом по сечению от соответствующих локальных обобщенных сил . Другими словами, силы Ppi, полученные интегрированием по сечению напряжений Лагранжа, могут не совпадать с вызывающими эту деформацию гравитационными или другими внешними обобщёнными силами. Но тогда силы Ppi нельзя использовать для расчёта энергетических изменений в процессе деформации по общему уравнению (3.2.1).

Например, при растяжении стержня c уравнениями (7.1.10) изменение удельной энергии состояния и напряжения Лагранжа в общем случае определяют уравнения (7.1.6) и (7.1.7)



;

. (7.2.5)

С учётом локальных характеристик деформированного состояния (с точностью до )



; ;

; ;

. (7.2.6)

; ;

,

для напряжений и интегральных сил , получаем:

в новой шкале средних напряжений ()

;

; (7.2.7)

;

;

в обычной шкале средних напряжений (; )



;

; (7.2.8)

;

.

Различие для напряжений и всех других энергетических характеристик связано с выбором шкалы . Вместе с тем, для приращения энергии деформации dEd и обобщённых сил Q результаты практически совпадают, если считать, что поперечные деформации определяются условием минимума накопленной образцом энергии (, см. разд. 7.1).

Несовпадение результатов для обобщённых сил , полученных через приращение интегральной по объёму энергии деформации, и сил , определяемых путём интегрирования локальных напряжений, объясняется достаточно сложными соотношениями между обобщёнными локальными координатами (1.3.6) даже в рассматриваемом процессе одноосного растяжения. Лишь при значения и совпадают, если принять (для стержня прямоугольного поперечного сечения) вместо .

На первый взгляд полученные результаты противоречат исходным предпосылкам энергетической модели. Ведь при анализе первого начала термодинамики (см. разд. 3) приращение работы внешних сил определено через произведение обобщённых сил на приращение перемещений точек их приложения. Для рассматриваемого стержня прямоугольного поперечного сечения при условии однородной деформации весь его объём можно рассматривать как одну частицу и тогда равенство изменений энергии внешних и внутренних сил должно выполняться автоматически. Но здесь оказывают решающее значение определяющие уравнения. В классической теории на боковых поверхностях отсутствуют как касательные, так и нормальные напряжения. Принятые соотношения (7.1.2) или (7.1.6) обеспечивают инвариантность удельной мощности деформации, но предполагают возникновение нормальных напряжений на всех гранях фиксированной частицы в форме б. м. параллелепипеда.

Наряду с рассмотренными выше, можно ввести дополнительно локальные обобщённые силы, характеризующие приращение удельной энергии за счёт изменения её объёма или формы в соответствии с уравнениями (7.1.25) или (7.1.4а)

. (7.2.9)

Выбор шкалы средних напряжений влияет только на первую составляющую.

Множитель при dГ определяет интенсивность касательных напряжений, а его предельное значение - условия перехода от обратимых к необратимым деформациям [5, 8].

Соотношения, аналогичные (7.2.7) - (7.2.8), могут быть получены при изгибе или кручении, а также в других случаях, когда все обобщённые локальные координаты (1.3.6) могут быть представлены функциями одного общего параметра. Однако при одновременном или последовательном наложении нескольких видов деформации (например изгибе, кручении и растяжении) переход к интегральным обобщённым силам не всегда является целесообразным в связи с трудностью их однозначной интерпретации.

С учётом возрастающего интереса к энергетическим критериям устойчивости, разрушения и оптимизации конструкций (или процессов), предпочтение следует отдавать энергетическим обобщённым силам, которые определяют темп (скорость или интенсивность) роста энергии системы при изменении соответствующей обобщённой координаты (параметра или переменной).

Понятия сил и статические условия для деформируемых систем должны применяться с большой осторожностью или не применяться вовсе, за исключением случаев замены отбрасываемых частей системы энергетически эквивалентными “обобщёнными силами” в соответствии с уравнениями (3.2.1).


7.3. СИЛЫ И ДЕФОРМАЦИИ В СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

Для деформируемых систем законы движения определяют дифференциальные уравнения (3.3.1) или (3.3.2). Получаемые на их основе решения (уравнения движения или смещения частиц тела) должны соответствовать минимуму суммарной для системы в целом энергии деформации.

В природе не существует системы, которая была бы изолирована от всяких внешних воздействий. Но в любой механической системе можно выделить отдельные подсистемы, например кривошипно - ползунный механизм без привода и присоединённых к ползуну технологических инструментов (штампа и пр.). Для описания поведения такой подсистемы действие отбрасываемых частей должно быть заменено эквивалентными по влиянию на уравнения движения или изменение энергии оставшихся в системе частиц энергетическими функциями - обобщёнными силами.

Такой приём позволяет, в частности, выделять из общей системы стержневые конструкции, для расчёта деформации которых можно использовать специфические для них упрощенные методы.

Будем называть стержнями деформируемые твердые тела, изменение энергии состояния которых зависит от изменения только одного параметра - их длины. Тогда (по определению) стержни могут только растягиваться или сжиматься.

Такое определение отличается от общепринятого, так как обычно под стержнями понимают тела, поперечные размеры которых значительно меньше их длины. По сравнению с более общим определением принятое выше исключает стойки и балки, которые работают на продольный или поперечный изгиб, соответственно, когда энергия деформации зависит от стрелы прогиба [12, 13].

В связи с низким (удельным) весом по отношению к предельным нагрузкам стержневые конструкции находят широкое распространение в строительстве, грузоподъёмных устройствах, различных механизмах и пр. Обычно их деформацию рассчитывают на основе закона Гука и условий статики. Отказ от аксиом статики требует энергетического обоснования альтернативных уравнений для решения практических задач.

В стержневых конструкциях относительные перемещения происходят в основном за счёт деформации стержней и они достаточно малы, т. е. изменением энергии положения и движения можно пренебречь. Остаются два вида энергии, изменения которых являются существенными: энергии состояния (упругой деформации) и внешних воздействий.

Все соединения в узлах будем считать шарнирными. Тогда стержни могут передавать только силы, направленные вдоль их длины, т. е. каждый из них может работать только на растяжение или сжатие. При таких ограничениях деформацию стержней можно считать однородной, а уравнения движения - линейными

, (7.3.1)

где - функции времени, которые определяют меру деформации каждого стержня.

Например, совмещая ось х с направлением длины стержня и обозначая коэффициентом Пуассона отношение между поперечными и продольными деформациями Коши, основные кинематические характеристики процесса в области малых деформаций можно определить с помощью уравнений движения (7.1.10), из которых следует

; ;

; (7.3.2)

; .

С учётом общего соотношения (7.1.6) при постоянных значениях и для изменения энергии состояния q -го стержня в произвольной шкале средних напряжений находим



. (7.3.3)

Отсюда как частные случаи следуют соотношения для новой ()



; ; (7.3.3а)

и обычной () шкалы средних напряжений



. (7.3.3b)

Для локальных характеристик (7.2.6) и (7.3.2) в общем случае получаем



или, после преобразований, в произвольной шкале средних напряжений:



; (7.3.4)

в новой шкале ():



, (7.3.4a)

в обычной шкале ():



. (7.3.4b)

Принимая во внимание



; , (7.3.5)

изменение энергии деформации каждого стержня однозначно определяется изменением его длины Lq, которую можно принять в качестве обобщённой координаты и выразить приращение энергии состояния через соответствующую обобщённую силу Pq



. (7.3.6)

Приращениям энергии (7.3.4) соответствуют обобщенные растягивающие (или сжимающие) силы в общем случае:



; (7.3.7)

в новой шкале():



; (7.3.7a)

в обычной шкале ():



. (7.3.7b)

Таким образом, обобщённые силы в стержнях отличаются от рассчитываемых по уравнениям [12, 13]



(7.3.8)

наличием постоянного слагаемого порядка для новой шкалы и множителем для обычной шкалы средних напряжений. При = 0 правые части уравнений (7.3.7b) и (7.3.8) совпадают. С другой стороны, при правые части уравнений (7.3.7а) и (7.3.7b) отличаются лишь постоянным множителем.

Рассмотрим произвольную систему из N стержней. Общее изменение энергии состояния (упругой деформации) системы равно сумме соответствующих изменений для каждого из них

U = , (7.3.9)

где uq - объёмная плотность энергии деформации.

Из анализа интегрального уравнения общего энергетического баланса системы частиц [5, 8] следует, что действительное движение каждой из них отличается от всех возможных тем, что обеспечивает минимальное значение общего изменения энергии состояния системы (7.3.9).

В качестве независимых обобщённых координат системы можно принять эйлеровы (текущие) координаты осей шарнирного соединения стержней. В каждом из N узлов могут быть соединены М стержней. Устойчивому состоянию будут соответствовать координаты узла xik, которые удовлетворяют условию минимума (функционала) U или системе уравнений

= 0. (7.3.10)

Изменение энергии каждого стержня, присоединённого к рассматриваемому шарниру, зависит от изменения его длины, которое в свою очередь зависит от текущих координат соединяемых рассматриваемым стержнем узлов. Таким образом, дифференцирование в правой части уравнения (7.3.10) нужно выполнять с учётом правила дифференцирования неявно заданных функций координат



. (7.3.11)

Отсюда получаем условия для сил



, или , (7.3.12)

так как при длине



производные по координатам определяют направляющие косинусы стержней



. (7.3.13)

Таким образом, сумма проекций на любую ось (или векторная сумма) всех сил в каждом узле стержневой системы должна быть равно 0. Другими словами, “равнодействующая” сил в любом узле системы равна 0. Но тогда и для всей системы в целом векторная сумма всех сил или сумма их проекций на любую ось обращаются в 0.



Уравнения (7.3.12)
следующая страница >>