Учитель математики псош №3 Чехова В. Н - vnekl.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Учитель математики псош №3 Чехова В. Н - страница №1/1

Учитель математики ПСОШ № 3 Чехова В.Н.

Применение тригонометрических уравнений

к решению геометрических задач.

Как известно, тригонометрические уравнения изучаются в старших классах школьного курса математики. Однако практическое приложение этого материала подкреплено недостаточно. Ниже рассматривается применение тригонометрических уравнений к решению геометрических задач. В ряде случаев разбирается традиционный способ решения этих задач и, по необходимости, дается сопоставление разных способов их решения.



Задача 1.

Определите углы прямоугольного треугольника, если его стороны составляют арифметическую прогрессию.




A



c



b



a

B

C


Решение.

Пусть а,в,с - длины сторон прямоугольного треугольника АВС (∟С=90о); а,в,с - составляют арифметическую прогрессию.

ВС=а, АС=в=а+х; АВ=с=а+2х, где d=х - разность арифметической прогрессии.

Использую теорему Пифагора, составим уравнение :

(а+2х)22+(а+х)2

а2+4ах+4х222+2ах+х2

а2-2ах-3х2=0

D=4а2+12а2=16а2



х1=а; х2=-а - не подходит по условию задачи.

а; а +а; а + а

а; ; а

ВС=а; АС=а; АВ=а

sin B=; sin B=a:а=0,8; ∟В=arcsin 0,8

sin A=; sin A=a:а==0,6; ∟А= arcsin 0,6

Ответ: arcsin 0,8 . arcsin 0,6.



Задача 2.

В равнобедренном треугольнике сумма основания и высоты, проведенной к основанию, равна удвоенной боковой стороне. Определите величину угла при основании треугольника.




B



C

D



A


Решение:

Дано: треугольник АВС, АВ=ВС, АС+ВD=2АВ

Найти: ∟А.

Так как АС+ВD=2АВ, то АС+ВD=AB+AB или АС+ВD=AB+BC

BD=AB+BC-AC (1)

Разделим обе части равенства (1) на BD,

тогда

Пусть ∟А=∟С=х, тогда

1 = + - Замечание:

1 = = = tg x

1 =

2 – 2cos x = sin x

sin x + 2cos x – 2 = 0

sin 2 + 2 cos 2 - 2 = 0

2 sin cos + 2 cos2 - 2 sin2 - 2 sin2 - 2 cos2 = 0

2 sin cos - 4 sin2 = 0

sin (cos - 2 sin ) = 0

sin = 0 или cos - 2 sin = 0



= 0 разделим обе части уравнения на cos (cos 0)

x =0 – не является 1 – 2 tg = 0; tg = ; x = 2 arctg ; x=22630=53

решением ∟А = 53

Ответ: ∟А = 53.



Задача 3.


B
Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Определите косинус угла при основании треугольника.


N

M



O



D

C

A


Решение:

Дано: треугольник АВС, АВ=ВС, АМ и СN – медианы, АМ перпендикулярна СN.

Найти: cos ∟АСВ.

Треуг.АМС = треуг.CNA по 1 признаку равенства треугольников: АС – общая сторона, ∟А = ∟С; AN = CM. Значит AM = CN.

По свойству медиан треугольника ==

Пусть у см приходится на одну часть, тогда АО=ОС=2у, ОМ=у.

Рассмотрим тр.АОС: ∟О=90, по теореме Пифагора АС2=АО2+СО2,

АС2=4у2+4у2=8у2, АС=2у, DC=у

Рассмотрим тр.ОМС: ∟О=90, МС2=ОС2+ОМ2, МС2=4у22=5у2, МС=у, ВС=2у.

Рассмотрим тр.DBC: ∟D=90, cos ∟C=; cos ∟C===.

Ответ: cos∟ACB=.

Задача 4.


A
В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, отношение которых равно 2. Определите один из острых углов треугольника.


D

O
D


N



BB

C


Решение:

Дано: треугольник АВС, ∟С=90, окружность, вписанная в треуг.АВС, =

Найти: ∟В.

Пусть х приходится на одну часть, тогда AD=AN=2x; DB=BM=x; CN=CM=r;

АС=2х+r; ВС=х+r; АВ=3х.

По теореме Пифагора АВ2=АС2+ВС2

2=(2х+r)+(х+r)2

2=4х2+4хr+r22+2хr+r2

2-6хr-2r2=0

2r2+6хr-4х2=0

r2+3хr-2х2=0

D=9х2+8х2=17х2

r1,2=

r1= - не удовлетворяет условию задачи

r2=

ВС=r+х; ВС=х+=

АС=r+2х; АС=+2х=

tg B = ; tg B = : = =

tg B 1,64 ∟В 58.

Ответ: ∟В 58.



Задача 5.

Стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Определите острые углы треугольника.




A



x



c



b



B

a

C


Решение:

Дано: треугольник АВС, ∟С=90, стороны а,в,с образуют геометрическую прогрессию.

Найти: ∟А, ∟В.

Обозначим меньший угол треугольника через х.

Стороны треугольника: а,в – катеты, с – гипотенуза.

Используя характеристическое свойство геометрической прогрессии и теорему Пифагора, составим следующую систему алгебраических уравнений:



а2 + ас – с2= 0 2 + - 1 = 0

Так как = то sin2х + sin х – 1 = 0

Пусть sin х = t, тогда t2+t-1 = 0

D=1+4=5


t1=; sin х = - не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи

t2=; sin х = х = arcsin



0,618

х arcsin 0,618; х 38; ∟А 38; ∟В 52

Ответ: 38; 52.

Задача 6.


A
В треугольнике их одной вершины проведены высота и медиана. Известно, что угол разделился на три равные части. Определите углы треугольника.


x

x

x



C

B



C


Решение:

Дано: треуг.АВС, АН-высота, АМ-медиана, ∟ВАН=∟НАМ=∟МАС.

Найти: ∟А, ∟В, ∟С.

Каждый из трех равных углов при вершине А обозначим через х.

К тр.АВМ и тр.АМС применим теорему синусов. Получим следующие соотношения:

= ; = =

(используем формулу приведения и свойство пропорции)



= ; = ; =

Так как ВМ = МС, то =

cos х sin х = cos 2х sin 2х

Умножим обе части уравнения на 2 и применим формулу синуса двойного аргумента и формулу разности синусов

sin 2х = sin 4х

sin 4х - sin 2х = 0

2 sin cos = 0

sin х cos 3х = 0

sin х = 0 или cos 3х = 0

х – не удовлетворяет геометрическому 3х =

смыслу задачи х = х = 30

Ответ: ∟А=90, ∟С=30 ∟В=60.



2 способ решения.

Однако эту задачу можно решить и без использования тригонометрических уравнений. В тр.АНС отрезок АМ является биссектрисой, поэтому АН:АС=НМ:МС.

Заметим, что ВН=НМ, ВМ=МС, поэтому НМ=. Значит =.

В прямоугольном треугольнике АНС катет АН оказался вдвое меньше гипотенузы АС, поэтому ∟С=30.



Задача 7.


A
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, и медиана, поведенная к одному из катетов, взаимно перпендикулярны. Определите углы треугольника.


N

M

O
N


X



90-x



C

B


Решение:

Дано: тр.АВС, ∟С=90, ВМ и СN – медианы, ВМ перпендикулярна CN.

Найти: ∟А, ∟В.

Обозначим острый угол А через х, введем временно параметр с, обозначив так гипотенузу АВ.

Заметим, что AN = CN = NB = R = .

Значит тр.АСN – равнобедренный, поэтому ∟АСN = х, ∟ОСВ=90-х.

По свойству медиан треугольника можно записать: СО=CN=, так как CN=.

ОВ найдем из прямоугольного тр.СОВ.

ОВ = ВС sin = ВС cos х = с sin х cos х = 0,5 sin 2х

(Из тр.АВС: ВС = АВ sin А; ВС = с sin х).

Рассмотрим тр.СОВ: ∟СОВ=90, по теореме Пифагора ВС2=СО2+ВО2

c2sin2х = + sin2

36 sin2х с2 = 4с2 + 9с2 sin2

36 sin2х = 4 + 9 sin2

18(1-cos2х) = 4+9(1-cos22х)

18-18cos2х = 4+9-9cos2

18-18cos2х-4-9+9cos22х=0

9cos22х -18cos2х+5=0

Пусть cos2х=t, тогда 9t2-18t+5=0



= 81 – 45 = 36

t1===; t2===



  1. сos2х = - нет решения, т.к 1 2)сos2х =

а) 2cos2х – 1 = б) 1 – 2sin2х =

cos2х = 2sin2х = ;

sin2х =

tg2х=; tg2х==; tgх=; х=arctg

Ответ: ∟А= arctg ; ∟В= - arctg .

2 способ решения.

Замечание: Воспользуемся теоремой: «Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон».

Выразим медиану ВМ через стороны тр.АВС – ВМ=

ВС=сsin х; АВ=с; АС=АВcos х=сcos х;

ВМ =



OB= OB=

Рассмотрим прямоугольный тр.BOC: BC2=CO2+OB2

c2sin2x=

sin2x=

9sin2x=1+2sin2x+2-cos2x

9sin2x-1-2sin2x-2+cos2x=0

7sin2x+cos2x-3=0

7sin2x+1-sin2x-3=0

6sin2x-2=0

sin2x=

sinx=

x= arcsin = arcsin 0,5773

Ответ: ∟А= arcsin ; ∟B=



Задача 8.


B
Ортоцентр равнобедренного треугольника делит высоту, проведенную к основанию, пополам. Найдите величину угла при основании треугольника.


M



a



O



A



C

H


Решение:

(Ортоцентр – точка пересечения высот треугольника).

Дано: тр.АВС – равнобедренный, СМ и ВН – высоты, точка О – ортоцентр, ВО=ОН

Найти: ∟А.

Угол при основании обозначим через неизвестную величину х.

ВН=ВСsin х=аsin х

тр.СОН: ОН=СНtg(90-х)=аcos х ctg х, потому что ∟СОН=∟ВОМ=х, ∟ВОМ=∟А.

Так как отрезок ОН = ВН ВН = 2ОН = 2а cos х ctg х, получим уравнение:

2а cos х ctg х = а sin х

cos х ctg х = 0,5 sin х

cos х = 0,5 sin х

cos2х – 0,5 sin2х = 0 разделим на cos2х

1 - tg2х =0

tg2 х = 2

tg х =

х = arctg

Ответ: величина угла

при основании равнобедренного треугольника равна arctg.



2 способ решения.

Из подобия треугольников ВОМ и ВАН можно составить следующую пропорцию:



= = =

(тр.ВСМ: ВМ = ВС = ВА cos(180- 2х), ВС = ВА)



sin х =

sin2 х = - cos 2х

sin2 х + 2 cos 2х = 0

sin2 х + 2cos2х – 2 sin2х = 0

2 cos2х - sin2 х = 0 |: cos2х

2- = 0

tg2х = 2; tg х = ;

х = arctg

Ответ: ∟А = arctg.



Задача 9.

Медиана, проведенная к боковой стороне в равнобедренном треугольнике, равна основанию. Найдите углы этого треугольника.




C



A1
A1


X

X



B

A


Решение.

Дано: тр.АВС, АС=ВС, АВ=АА1

Найти: ∟А, ∟В, ∟С.

Введем в качестве параметра в длину боковой стороны, а величину угла при основании обозначим через х.

∟АСВ = (тр.АСВ)

∟СА1А = (т.к. ∟АА1С и ∟АА1В – смежные)

∟САА1 = () – () = 3х -

К тр.АСА1 и тр.АВА1 применяем теорему синусов: =



=

= =

Так как А1С=А1В, тогда получим следующее тригонометрическое уравнение:



=

- sin22х =

cos22х – 1= (cos2х – cos4х)

2 cos22х – 2 = cos2х - cos22х + sin2

2 cos22х – 2- cos2х + cos22х – 1 + cos22х = 0

4 cos22х - cos2х – 3 = 0

Пусть cos2х=t, тогда 4t2 –t – 3 = 0

D = 1+48=49 t1,2= t1=1, t2=-

а) cos2х = 1 - не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи

б) cos2х =-

2cos2х – 1 =-

2cos2х = cos х = = = =

cos х =

Углы при основании треугольника равны arccos.

сos С = cos(180-2х) = -cos 2х = 1 – 2cos2х =

сos С = 0,75, ∟С = arccos 0,75

Ответ: углы при основании равнобедренного треугольника равны arccos,

третий угол равен arccos 0,75.



2 способ решения.

Используя тот же рисунок, выразим медиану АА1 через стороны треугольника:

АА1=

2с = ; с = (АВ=с)

Из прямоугольного треугольника ВНС находим, что cos х = = =

х = arсcos .



Задача 10.


D

C
Трапеция АВСD делится диагональю АС на два подобных треугольника. Известно, что диагональ АС составляет с основанием угол, равный 45, боковая сторона АD=1, боковая сторона ВС= Найдите углы трапеции.


455



B

A


Решение:

Дано: тр.АDС и тр.АВС – подобны; ∟САВ=45, АD=1; ВС=

Найти: ∟А, ∟В, ∟С, ∟D.

тр.АDС и тр.АВС подобны по условию, отметим в них равные углы: ∟АСD и ∟ВАС, так как они являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых АВ и DС и секущей АС, ∟DАС∟АСВ, так как в трапеции боковые стороны не параллельны. Следовательно, ∟АDС=∟АСВ. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

К тр.АВС применим теорему синусов, обозначив величину ∟В через х.

=



cos х - cos sin х - sin х = 0

cos х + - sin х = 0

cos х + sin х - 2sin х = 0

cos х + sin х – 2sin х = 0

cos х - sin х = 0

cos х = sin х

х =

∟В=45, АСВ=90, АDС=90, ВСD=135.

Ответ: 45, 90, 90, 135.

Задача 11.


C
Определите угол при основании равнобедренного треугольника, если известна боковая сторона а и расстояние d от ортоцентра треугольника до вершины угла при основании.


H



B

D

A

O

щщщ



Решение:

Дано: АВС – равнобедренный треугольник; АС=ВС=а; ВО=d.

Найти: ∟А = ∟В.

Обозначим углы при основании через . ∟А = ∟В =

В тр.АВН ∟Н=90, ∟А = , ∟АВН=-, ∟ВСD=-.

Тогда из прямоугольных треугольников ВDС и ВОD получаем ВD=аcos; ВD=dcos

Эти равенства дают тригонометрическое уравнение: аcos = dcos аcos = d tg = = arctg .

Ответ: угол при основании равнобедренного треугольника равен arctg



Задача 12.


A
Ортоцентр треугольника делит одну из высот треугольника в отношении 2:1, считая от вершины, другую высоту делит пополам. Определите тангенсы углов треугольника.


K



O

2



C

B

1



H


Решение.

Дано: АН перпендикулярна ВС, СК перпендикулярна АВ, АО:ОН=2:1, СО=ОК

Найти: tg A, tg B, tg C.

Эта задача представляет интерес еще и потому, что на ее примере иллюстрируется сочетание тригонометрии и геометрии. Пусть тр.АВС удовлетворяет условию задачи.

Из подобия треугольников АКО и СНО можно записать следующую пропорцию:

=, но ОК=ОС (по условию) = ОС2=АО=2

Рассмотрим треугольник НОС: ∟Н=90 НС2=ОС2-ОН2; НС2=2-1=1;

tg ∟ОСН = 1 ∟ОСН=45.

В треугольнике ВКС ∟К=90 ∟КСВ=45 ∟В=45 tgВ = 1.

Их треугольника АНС: ∟Н=90 tg С =

∟В= ∟НОС = 45 tgВ = tg∟НОС = = 1

Рассмотрим треугольник АНС: ∟Н=90tg С = = = 3

Тр. АКО – равнобедренный, так как ∟КАО=∟КОА=45. Значит АК=КО=ОС, КС=2АК.

tgА =

Ответ: tgВ = 1; tg С = 3; tgА = 2.



Задача 13.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, проходит через центр описанной окружности. Определите величину угла при основании треугольника.




B



K



a

M



O



A

C

H


Решение:

Дано: тр. АВС – равнобедренный; т.М – центр описанной окружности; т.О – центр вписанной окружности.

Найти: ∟А = ∟С.

ВН=ВМ+МН, где ВН-высота, МН-диаметр вписанной окружности.

Обозначив боковую сторону через а, угол при основании через х, получим, что ВН=а

Точка О – центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрисы углов треугольника ∟ВАО = ∟ОАН=.

Из прямоугольного треугольника АОН получаем: ОН=АНtg; АН=аcosх.

Следовательно, ОН= аcosхtg.

Далее из прямоугольного треугольника ВМК найдем ВМ.

Точка М центр описанной окружности, которая лежит на серединном перпендикуляре к стороне ВС, значит ВК=КС=.

ВМ = =

Так как ВН=2ОН+ВМ и ВН=а sinх, то составим уравнение:

2а cosхtg + = а sinх 2cosх + = sinх

4cosх – 4cos2х + 1 – 2sin2х = 0

4cosх – 4cos2х + 1 – 2(1-cos2х) = 0

4cosх – 4cos2х + 1 -2 + 2cos2х = 0

2cos2х - 4cosх + 1 = 0 cosх =

Учитывая, что , то cosх = .

Ответ: угол при основании равнобедренного треугольника равен arccos.

Задача 14.


B
В равнобедренном треугольнике точка пересечения высот лежит на окружности, вписанной в треугольник. Вычислите угол при основании треугольника.


D



H



O



K

C

A
C

Решение:

Пусть в равнобедренный треугольник АВС вписана окружность с центром О и ортоцентр треугольника т.Н лежит на этой окружности, а следовательно на высоте треугольника.

Обозначим боковую сторону через а, угол при основании через х. т.О лежит на биссектрисе ∟ВАС, значит ∟ОАК=.

Из прямоугольного тр.АОК получаем ОК=АКtg.

Из тр.АВК АК=а соsх.

Следовательно, ОК= а соsхtg.

Найдем теперь отрезок ВН, рассмотрев прямоугольный треугольник ВНD. Получаем, что ВН==.

Отрезок ВD найдем из прямоугольного треугольника АВD:

ВD=а cos( ВН==-

Из рисунка видно, что ВК=ВН+НК. Исходя из этого, составим уравнение:

2а cosх - = а sinх

2cosх - = sinх

2cosх - = sinх

2cosх (1- сosх) – cos2х + sin2х = sin 2х

2cosх - 2cos2х - cos2х = 0

2cosх - 3cos2х = 0

сosх (2-3cosх)=0

В данном случае косинус угла не может быть равен нулю, иначе бы получился треугольник с двумя прямыми углами.



Ответ: угол при основании равнобедренного треугольника равен .