Устный журнал по теме: " История возникновения квадратных уравнений" - vnekl.netnado.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Исследовательская работа по математике 10 способов решения квадратных... 1 197.18kb.
Урок обобщающего повторения и систематизации знаний 1 76.83kb.
История возникновения конфликтологии 1 148.22kb.
Устный журнал «эко» моу "сош" 1 142.39kb.
В последнее время, все чаще, молодежь не обращая внимания на окружающих... 1 146.32kb.
Методический анализ классного часа «Планета этикета» (устный журнал) 1 26.29kb.
Основная часть. Методы решения систем уравнений 1 111.78kb.
План-конспект урока «Основные типы иррациональных уравнений» 1 45.76kb.
Решение уравнений Цели урока 1 55.38kb.
Библиотекарь дс кочеткова В. А. говорила о значении слова толерантность. 1 11.08kb.
Самостоятельная работа «Сокровища Земли под охраной человека». 1 129.3kb.
Исследовательская работа по математике 10 способов решения квадратных... 1 197.18kb.
"Обозначение мягкости согласных на письме" 1 53.8kb.
Устный журнал по теме: " История возникновения квадратных уравнений" - страница №1/1

МОУ Константиновская СОШ

учитель математики Кравец З.И.


Внеклассное мероприятие. Устный журнал по теме:

История возникновения квадратных уравнений”

Устный журнал состоит из пяти страниц, которые представляют обучающиеся, интересующиеся историей математики.

Слово ведущим. 1-й ведущий: О, математика земная!

Гордись, прекрасная, собой,

Ты всем наукам мать родная

И дорожат они тобой.



2-й ведущий: Твои расчеты величаво

Ведут к планетам корабли

Не ради праздничной забавы,

А ради гордости Земли!



3-й ведущий: И чтобы мысль людская в поколенье

Несла бесценные дары


Великих гениев творенья

Полеты в дальние миры.



4-й ведущий: В веках овеяна ты славой

Светило всех земных светил

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил.



5-й ведущий: Строга, логична, величава,

Стройна в полете, как стрела.

Твоя немеркнущая слава

В веках бессмертье обрела.



1-й ведущий: Я славлю разум человека,

Дела его волшебных рук,

Надежду нынешнего века,

Царицу всех земных наук.



Учитель: Здравствуйте, ребята! Мы сегодня собрались с вами, чтобы поговорить об истории. Но не о той, которую вы привыкли слушать на уроках. Мы будем говорить об истории развития математики. Математика - одна из самых древних наук. Много веков назад люди, стремясь познать окружающий мир, решали задачи, ответы на которые необходимы были в повседневной жизни. Человеческая мысль стремилась вперед, развивая такие науки как, математика, астрономия, физика, философия.

Практически каждый из вас научился решать квадратные уравнения, но далеко не каждый из вас знает, как долго ученые шли к тем формулам, которые мы применяем сегодня на уроках. Послушаем ваших одноклассников об истории развития представлений о решении квадратного уравнения.


Страница первая. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне.


Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

х2 + х = ¾, х2 – х = 14 ½.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.



Страница вторая. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел. До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта; полагают, что он жил в III в.н.э. Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”, из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней.

В “Арифметике” Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот одна его задача. Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96.

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 – х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение (10 + х)(10 – х) = 96,

или же 100 – х2 = 96,

х2 – 4 = 0. (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если решать эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения y(20 – y) = 96,

y2 – 20y + 96 = 0.

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Задание учащимся.

Решить следующие квадратные уравнения из “Арифметики” Диофанта:

а) 12х2 + х = 1; б) 630х2 + 73х = 6.

Страница третья. Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате “Ариабхаттиам”, составленном в 499 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: aх2 + bх = c, a>0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме a, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: “Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи”. Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

“Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Всласть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?”

(Учащиеся пробуют составить уравнение для этого стихотворения. Если кто-то из детей составит правильно, то ему предлагается решить его на доске. Затем ведущий эту страницу ученик показывает, как уравнение решено Бхаскарой).

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее задаче уравнение (х/8)2 + 12 = х

Бхаскара пишет под видом х2 – 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: х2 – 64х + 322 = -768 + 1024,

(х – 32)2 = 256,

х – 32 = + 16,

х1 = 16, х2 = 48.



Страница четвертая. Квадратные уравнения у ал-Хорезми.

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:



  1. “Квадраты равны корням”, т.е. ax2 = bx.

  2. “ Квадраты равны числу”, т.е. ax2 = c.

  3. “Корни равны числу”, т.е. ax = с.

  4. “Квадраты и числа равны корням”, т.е. ax2 + c = bx.

  5. Квадраты и корни равны числу”, т.е. ax2 + bx = c.

  6. Корни и числа равны квадратам”, т.е. bx + c = ax2.

Для ал-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении квадратных уравнений ал-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решений, а затем их геометрические доказательства.

Приведем пример. “Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень”(подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Данное решение автора совпадает с современной формулой решения приведенных квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом, которое так нравится применять учащимся: “ b, со знаком взяв обратным, мы на два его поделим и от корня аккуратно знаком минус плюс отделим, а под корнем очень кстати половина b в квадрате; минус c и вот решенье непростого уравненья”.

Трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Страница пятая. Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в “Книге абака”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Изданная в Риме в середине 19-го века “Книга абака” содержала 459 страниц. Этот труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические приемы решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из “Книги абака” переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв.и частично XVIII в.

Общее правили решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х2 + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b,с было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.



Учитель: надеемся, что доклады, подготовленные вашими одноклассниками, были интересны вам, что у вас появилось желание узнать об истории развития математики больше, и что этот интерес приведет к более осознанному и заинтересованному подходу в изучении разных тем курса алгебры и геометрии.